東京大学理学部数学科カリキュラムメモ

数学科

代数学I
１．群，環，体の定義
２．剰余類，剰余群
３．準同型写像，準同型定理
４．対称群，ニ面体群
５．直積，半直積
６．有限アーベル群の基本定理
７．群の集合への作用，共役類
８．Sylowの定理
９．可解群，冪零群
１０．生成元と関係式
１１．部分環，直積，イデアル，剰余環，準同型定理
１２．素イデアル，極大イデアル
１３．一意分解整域
１４．局所化
１５．一意分解整域上の多項式環
代数学I 群と環，桂利行，東京大学出版会
代数学1 群論入門，雪江明彦，日本評論社
代数学2 環と体とガロア理論，雪江明彦，日本評論社 (第1章)
群論， 近藤武，岩波書店

代数学II
１．環と加群の定義と例
２．準同型定理
３．ジョルダン・ヘルダーの定理
４．自由加群、平坦加群、射影的加群、単射的加群
５．ヤコブソン根基と中山の補題
６．単項イデアル整域上の加群
７．ヒルベルトの基底定理とネーター環
８．ヒルベルトの零点定理
９．テンソル積と外積
１０．半単純環の構造定理
桂利行：代数学II 環上の加群　(東京大学出版会）

代数学III
1.体の拡大、代数拡大、最小多項式
2.分離拡大、正規拡大
3.ガロアの対応
4.円分体、クンマー拡大
5.拡大の可解性と群の可解性
4.有限体

幾何学I
1. 多様体の定義と例
2. 接空間と写像の微分
3. 埋め込みとはめ込み
4. 臨界値と正則値
5. ベクトル場とフロー
6. リーマン計量と1の分割
松島与三，「多様体入門」裳華房
坪井俊，「幾何学I--多様体入門」東京大学出版会
松本幸夫，「多様体の基礎」東京大学出版会

幾何学II
位相空間および位相空間対の特異ホモロジー群 について基礎的事項を解説する。関連して、基本群、 有限胞体複体、多様体の基本類、特異コホモロジーを扱う。
ホモロジー群に関して:
1) 中岡 稔 「（復刊）位相幾何学 ─ ホモロジー論」　（共立出版）
2) J.W. Milnor and J.D. Stasheff, `Characteristic Classes' (Princeton UP, New Jersey, 1974) の中の
Appendix A: Singular Homology and Cohomology
基本群に関して:
3) 松本 幸夫 「トポロジー入門」　（岩波書店）
全般に渉って:
4) 服部 晶夫 「位相幾何学」　（岩波書店）
5) Allen Hatcher, `Algebraic Topology' (Cambridge UP, Cambridge, 2002)


幾何学III
1. 微分形式の幾何学への入門
2. 多様体の1次微分形式
3. 多様体上の微分形式とその外微分
4. 微分形式のいくつかの性質
5. ド・ラム コホモロジー群の基本性質，ポアンカレの補題
6. 多様体の向き，多様体上の微分形式の積分
7. 境界付き多様体のストークスの定理
8. 体積要素とストークスの定理の応用
9. 球面のド・ラム コホモロジー群と写像度
10. 1径数変換群とリー微分
11. リーマン多様体のグリーンの定理
12. チェイン上の積分とド・ラムの定理
13. チェック=ド・ラムの定理
14. ド・ラムの定理の証明
15. 応用と展望，フロベニウスの定理など
坪井俊　幾何学III 微分形式　東大出版会
森田茂之　微分形式の幾何学　岩波書店

解析学IV
1.測度と積分：(i) 測度空間 (ii)可測関数 (iii)積分 (iv)収束定理
2．測度の構成：(i)外測度 (ii)拡張定理 (iii)完備化 (iv)直積測度 (v)距離空間上の測度
3.関数空間
伊藤清三「ルベーグ積分入門」(裳華房)
Walter Rudin 「Real and complex analysis」 (McGRAW-HILL)
小谷眞一「測度と確率」（岩波）

解析学V
1.偏微分方程式に関する導入
2.一階偏微分方程式の定義と例
3.一階線形偏微分方程式
4.準線形一階偏微分方程式
5.一般の単独一階偏微分方程式
6.Hamilton-Jacobi方程式
7.ラプラス方程式の定義と調和関数
8.ラプラス方程式の基本解
9.ディリクレの原理
10.ラプラス作用素のスペクトル分解
11.波動方程式の解の構成
12.波動方程式の解の依存領域と一意性
13.波動方程式の解とフーリエ変換、ラドン変換
熊ノ郷準「偏微分方程式」（共立出版）
F.ジョン「偏微分方程式」（シュプリンガー・フェアラーク東京）
Gerald B. Folland "Introduction to Partial Differential Equations", 2nd Edition, (Princeton Univ. Press)

解析学VII
１．バナッハ空間
２．ヒルベルト空間
３．ヒルベルト空間上の有界線型作用素
関数解析　黒田成俊　共立出版

確率解析学
1. 連続時間マルチンゲール
2. ブラウン運動の復習
3. ブラウン運動のマルコフ性と強マルコフ性
4. 確率積分
5. 伊藤の公式
6. 確率微分方程式、強解の存在と一意性
7. 確率微分方程式の解のマルコフ性、
8. マルチンゲール問題と弱解、生成作用素
9. 偏微分方程式との関係、Feynman-Kacの公式
10. Cameron-Martin-Girsanov-丸山の公式
11. 確率微分方程式の例、不変測度、可逆測度
12. Hilbert空間上のブラウン運動、確率積分
13. 無限次元確率微分方程式と確率偏微分方程式
[1] 舟木直久：確率微分方程式、岩波書店、2005年 (1997年)
[2] I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus,
Graduate Texts in Math., Volume 113, Springer, 2nd ed., 1991年

複素解析学II
１．調和関数、劣調和関数、Poisson積分
２．解析接続、一価性定理
３．写像としての正則関数、等角性、単葉性、シュワルツの補題
４．リーマンの写像定理、正規族、境界対応
５．楕円関数、ペー関数
６．コーシー・リーマン方程式とクザンの問題
７．ルンゲの近似定理
アールフォルス 著 「複素解析」 現代数学社
野口潤次郎 著「複素解析概論」裳華房 数学選書12